Натуральные числа. Ряд натуральных чисел. Обозначение натуральных чисел Как образуется любое число в натуральном ряду

Место нуля

Существуют два подхода к определению натуральных чисел:

• подсчёте (нумерации) предметов (первый , второй , третий , четвёртый , пятый …);
• натуральные числа - числа, возникающие при обозначении количества предметов (0 предметов , 1 предмет , 2 предмета , 3 предмета , 4 предмета , 5 предметов …).

В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором - с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход . Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки , где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств . Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда , включающего ноль .

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом . Международные стандарты ISO 31-11 (1992 год) и ISO 80000-2 (2009 год) устанавливают следующие обозначения :

В русских источниках этот стандарт пока не соблюдается - в них символ N {\displaystyle \mathbb {N} } обозначает натуральные числа без нуля, а расширенный натуральный ряд обозначается N 0 , Z + , Z ⩾ 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} _{+},\mathbb {Z} _{\geqslant 0}} и т. д.

Аксиомы, позволяющие определить множество натуральных чисел

Аксиомы Пеано для натуральных чисел

Множество N {\displaystyle \mathbb {N} } будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксированы некоторый элемент 1 (единица), функция S {\displaystyle S} c областью определения N {\displaystyle \mathbb {N} } , называемая функцией следования ( S: N {\displaystyle S\colon \mathbb {N} } ), и выполнены следующие условия:

1. элемент единица принадлежит этому множеству ( 1 ∈ N {\displaystyle 1\in \mathbb {N} } ), то есть является натуральным числом;
2. число, следующее за натуральным, также является натуральным (если , то S (x) ∈ N {\displaystyle S(x)\in \mathbb {N} } или, в более короткой записи, S: N → N {\displaystyle S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} } );
3. единица не следует ни за каким натуральным числом ( ∄ x ∈ N (S (x) = 1) {\displaystyle \nexists x\in \mathbb {N} \ (S(x)=1)} );
4. если натуральное число a {\displaystyle a} непосредственно следует как за натуральным числом b {\displaystyle b} , так и за натуральным числом c {\displaystyle c} , то b {\displaystyle b} и c {\displaystyle c} - это одно и то же число (если S (b) = a {\displaystyle S(b)=a} и S (c) = a {\displaystyle S(c)=a} , то b = c {\displaystyle b=c} );
5. (аксиома индукции) если какое-либо предложение (высказывание) P {\displaystyle P} доказано для натурального числа n = 1 {\displaystyle n=1} (база индукции ) и если из допущения, что оно верно для другого натурального числа n {\displaystyle n} , вытекает, что оно верно для следующего за n {\displaystyle n} натурального числа (индукционное предположение ), то это предложение верно для всех натуральных чисел (пусть P (n) {\displaystyle P(n)} - некоторый одноместный (унарный) предикат , параметром которого является натуральное число n {\displaystyle n} . Тогда, если P (1) {\displaystyle P(1)} и ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) {\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))} , то ∀ n P (n) {\displaystyle \forall n\;P(n)} ).

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о натуральном ряде и числовой линии .

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см. , а также краткое доказательство ), что если (N , 1 , S) {\displaystyle (\mathbb {N} ,1,S)} и (N ~ , 1 ~ , S ~) {\displaystyle ({\tilde {\mathbb {N} }},{\tilde {1}},{\tilde {S}})} - две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны , то есть существует обратимое отображение (биекция) f: N → N ~ {\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}} такая, что f (1) = 1 ~ {\displaystyle f(1)={\tilde {1}}} и f (S (x)) = S ~ (f (x)) {\displaystyle f(S(x))={\tilde {S}}(f(x))} для всех x ∈ N {\displaystyle x\in \mathbb {N} } .

Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве N {\displaystyle \mathbb {N} } какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Иногда, особенно в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют единицу на ноль. В этом случае ноль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств ноль является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций нуль, как и пустое множество, не является чем-то обособленным. Другим преимуществом считать ноль натуральным числом является то, что при этом N {\displaystyle \mathbb {N} } образует моноид . Как уже упоминалось , в русской литературе традиционно ноль исключён из числа натуральных чисел.

Теоретико-множественное определение натуральных чисел (определение Фреге - Рассела)

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

Числа, заданные таким образом, называются ординальными .

Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:

Величина множества натуральных чисел

Величина бесконечного множества характеризуется понятием «мощность множества », которое является обобщением числа элементов конечного множества на бесконечные множества. По величине (то есть мощности) множество натуральных чисел больше любого конечного множества, но меньше любого интервала, например, интервала (0 , 1) {\displaystyle (0,1)} . Множество натуральных чисел по мощности такое же, как множество рациональных чисел. Множество такой же мощности, как множество натуральных чисел, называется счётным множеством . Так, множество членов любой последовательности счётно. В то же время, существует последовательность, в которую каждое натуральное число входит бесконечное число раз, поскольку множество натуральных чисел можно представить как счётное объединение непересекающихся счётных множеств (например , N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) {\displaystyle \mathbb {N} =\bigcup \limits _{k=0}^{\infty }\left(\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }(2n+1)2^{k}\right)} ).

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):

Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Основные свойства

• Коммутативность сложения:

• Коммутативность умножения:

• Ассоциативность сложения:

• Ассоциативность умножения:

• Дистрибутивность умножения относительно сложения:

Алгебраическая структура

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0 . Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1 . С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел Z {\displaystyle \mathbb {Z} } и рациональных положительных чисел Q + ∗ {\displaystyle \mathbb {Q} _{+}^{*}} соответственно.

Простейшее число — это натуральное число . Их используют в повседневной жизни для подсчета предметов, т.е. для вычисления их количества и порядка.

Что такое натуральное число: натуральными числами называют числа, которые используются для подсчета предметов либо для указывания порядкового номера любого предмета из всех однородных предметов.

Натуральные числа - это числа, начиная с единицы. Они образуются естественным образом при счёте. Например, 1,2,3,4,5... - первые натуральные числа.

Наименьшее натуральное число - один. Наибольшего натурального числа не существует. При счёте число ноль не используют, поэтому ноль натуральное число.

Натуральный ряд чисел - это последовательность всех натуральных чисел. Запись натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на единицу.

Сколько чисел в натуральном ряду? Натуральный ряд бесконечен, самого большого натурального числа не существует.

Десятичной так как 10 единиц всякого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной так как значение цифры зависит от её места в числе, т.е. от разряда, где она записана.

Классы натуральных чисел.

Всякое натуральное число возможно написать при помощи 10-ти арабских цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для чтения натуральных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по 3 цифры в каждой. 3 первые цифры справа - это класс единиц, 3 следующие - это класс тысяч, далее классы миллионов, миллиардов и так далее. Каждая из цифр класса называется его разрядом .

Сравнение натуральных чисел.

Из 2-х натуральных чисел меньше то число, которое при счете называется ранее. Например , число 7 меньше 11 (записывают так: 7 < 11 ). Когда одно число больше второго, это записывают так: 386 > 99 .

Таблица разрядов и классов чисел.

Числа, предназначенные для подсчета предметов и отвечающие на вопрос «сколько?» («сколько

мячей?», «сколько яблок?», «сколько солдати­ков?»), называются натуральными.

Если записать их по порядку, от меньшего числа к большему, то получится натуральный ряд чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 99, 100, 101, …, 999, 1000, 1001 …

Натуральный ряд чисел начинается с числа 1.

Каждое следующее натуральное число на 1 боль­ше предыдущего.

Натуральный ряд чисел бесконечен.

Числа бывают четные и нечетные. Четные числа делятся на два, а нечетные числа не делятся на два.

Ряд нечетных чисел:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, 99, 101, …, 999, 1001, 1003 …

Ряд четных чисел:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 98, 100, …, 998, 1000, 1002 …

В натуральном ряду нечетные и четные числа че­редуются:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 99, 100, …, 999, 1000 …

Как сравнивать натуральные числа

При сравнении двух натуральных чисел больше то, которое стоит в натуральном ряду правее:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Так, семь больше трех, а пять больше единицы.

В математике для записи слова «меньше» исполь­зуют знак «<», а для записи слова «больше» - знак « > ».

Острый уголок значков «больше» и «меньше» всегда направлен в сторону меньшего из двух чисел.

Запись 7 > 3 читается как «семь больше трех».

Запись 3 < 7 читается как «три меньше семи».

Запись 5 > 1 читается как «пять больше одного».

Запись 1 < 5 читается как «один меньше пяти».

Слово «равно» в математике заменяют знаком «=»:

Когда числа большие, трудно сразу сказать, ка­кое из них стоит правее в натуральном ряду.

При сравнении двух натуральных чисел с разным количеством цифр больше из них то, в котором цифр больше.

Например, 233 000 < 1 000 000, потому что в пер­вом числе шесть цифр, а во втором - семь.

Многозначные натуральные числа с одина­ковым количеством цифр сравниваются поразрядно, начиная со старшего разряда.

Сначала сравниваются единицы самого старшего разряда, потом - следующего за ним, следующего и так далее. Например, сравниваем числа 5401 и 5430:

5401 = 5 тысяч 4 сотни 0 десятков 1 единица;

5430 = 5 тысяч 4 сотни 3 десятка 0 единиц.

Сравниваем единицы тысяч . В разряде единиц тысяч числа 5401 - 5 единиц, в разряде единиц тысяч числа 5430 - 5 единиц. Сравнив единицы тысяч, еще нельзя сказать, какое из чисел больше.

Сравниваем сотни . В разряде сотен числа 5401 - 4 единицы, в разряде сотен числа 5430 - тоже 4 единицы. Надо продолжать сравнение.

Сравниваем десятки . В разряде десятков числа 5401 - 0 единиц, в разряде десятков числа 5430 - 3 единицы.

Сравнив, получим 0 < 3, поэтому 5401 < 5430.

Числа можно располагать в порядке убывания и в порядке возрастания.

Если в записи нескольких натуральных чисел каждое следующее число меньше предыдущего, то говорят, что числа записаны в порядке убывания.

Запишем числа 5, 22, 13, 800 в порядке убы­вания.

Отыщем большее число. Число 5 - однозначное, 13 и 22 - двузначные, 800 - трехзначное число и, следовательно, самое большое. Пишем на первом ме­сте 800.

Из двузначных чисел 13 и 22 большее 22. Пишем за числом 800 число 22, а затем 13.

Наименьшее число - однозначное число 5. Пи­шем его последним.

800, 22, 13, 5 - запись данных чисел в порядке их убывания.

Если в записи нескольких натуральных чи­сел каждое следующее число больше предыду­щего, то говорят, что числа записаны в поряд­ке возрастания.

А как записать числа 15, 2, 31, 278, 298 в поряд­ке возрастания?

Среди чисел 15, 2, 31, 278, 298 отыщем меньшее.

Это однозначное число 2. Запишем его на первом месте.

Из двузначных чисел 15 и 31 выбираем мень­шее - 15, пишем его на втором месте, а за ним - 31.

Из трехзначных чисел 278 - меньшее, пишем его за числом 31, а последним пишем число 298.

2, 15, 21, 278, 298 - запись данных чисел в по­рядке возрастания

Урок «Обозначение натуральных чисел» является первым уроком в курсе математики пятого класса и является продолжением, а в некоторых моментах, и повторением аналогичной темы, которая изучалась в курсе начальной школы. Вследствие этого, ученики часто не очень внимательно воспринимают учебный материал. Поэтому, для достижения максимального интереса и концентрации внимания необходимо внедрять новые методы объяснения, например, использовать презентацию «Обозначение натуральных чисел».

Урок начинается с повторения ряда цифр, а также понятия натурального числа и его десятичной записи. Объяснено, что последовательность всех натуральных чисел называется натуральным рядом и приведен пример первых двадцати его элементов. Особое внимание в ходе презентации уделяется значению цифры в зависимости от ее места в записи числа. Для этого рассмотрена запись числа по разрядам. Используя эффектную и не навязчивую анимацию, ученикам продемонстрировано, что обозначает одна и та же цифра в зависимости от того, где она находится: в разряде единиц, в разряде десятков и т.д.

Не редко можно увидеть, что, наряду с тем, что число ноль часто используемо как в ежедневной жизни, так и в курсе математики, школьники испытывают затруднение, когда им необходимо объяснить, что ж это за число. Для увеличения эффективности понимания понятия о нуле приводится пример счета в футбольном матче. Также акцентируется внимание учащихся на то, что 0 не относят к натуральным числам.

В презентации детально, с использованием примеров, рассмотрены понятия однозначных, двузначных, трехзначных и четырехзначных чисел. Рассмотрены записи одного миллиона и миллиарда. Отдельное внимание уделено правильному чтению многозначных чисел и их разбивке на классы. Используя таблицу для записи многозначного числа с выделением классов и разрядов, продемонстрировано, что левый класс, в отличие от всех остальных, может иметь меньше трех цифр.

Для того, чтобы можно было проверить результат усвоения учениками нового материала, данная разработка презентации содержит список вопросов, которые полностью охватывают изложенный материал. Это позволит учителю максимально быстро среагировать на моменты, которые остались не до конца понятыми школьникам в результате изучения данной темы .

Поскольку презентация «Обозначение натуральных чисел» излагает озаглавленную тему на понятном и доступном уровне, изложение учебного материала логично и последовательно, то она может быть успешно использована не только во время классно-урочного объяснения данной темы, но и при самостоятельном или дистанционном обучении школьниками.